Question

已知函數(shù)f（x）=

1 2 x2+1 ，(x≥0) -ln(1-x)，(x＜0)

，若函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（　　）

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出雙曲線的漸近線方程，y=-ln（1-x）在x=0處的切線方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，x≥0，f（x）=

1

2

x2+1

為雙曲線4y²-x²=1在第一象限的部分，漸近線方程為y=±

1

2

x；
當(dāng)k=1時(shí)，由y=-ln（1-x），可得y′=

1

1-x

=1可得x=0，即y=-ln（1-x）在x=0處的切線方程為y=x，
此時(shí)函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
∴若函數(shù)F（x）=f（x）-kx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為（

1

2

，1），
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．