Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)有 S_n=3S_n-1+2．
（1）求證{S_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用S_n=3S_n-1+2，得到S_n+1=3S_n-1+2+1，推出，即可判斷數(shù)列{S_n+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；
（2）利用（1）求出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用a_n=S_n-S_n-1求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）∵S_n=3S_n-1+2
∴S_n+1=3S_n-1+2+1
∴…（4分）
又∵S₁+1=a₁+1=3
∴數(shù)列{S_n+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）得∴，
∴…（8分）
∴…（10分）
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足上式，…（12分）
所以，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式，等比數(shù)列的證明，定義的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．