Question

16．已知函數f（x）=asinx-bcosx（其中a，b為正實數）的圖象關于直線$x=-\frac{π}{6}$對稱，且?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，則下列結論正確的是（　�。�

• A． $a=\sqrt{3}$，b=1
• B． 函數f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{6}，π}]$上單調遞增
• C． 函數f（x）的圖象的一個對稱中心為$（{\frac{2}{3}π，0}）$
• D． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等號時|x₂-x₁|的最小值為2π

Answer 1

分析 將函數f（x）化簡，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，f（x）的最大值為2，即a²+b²=4．由于f（x）圖象的對稱軸為直線$x=-\frac{π}{6}$，可得$f（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b$，求解a，b的值．可得解析式．從而根據正弦函數的圖象及性質可得答案．

解答 解：函數f（x）=asinx-bcosx
化簡可得$f（x）=asinx-bcosx=\sqrt{{a^2}+{b^2}}sin（{x-φ}）$（其中$tanφ=\frac{a}$），
∵f（x₁）f（x₂）≤4，∴f（x）的最大值為2，∴a²+b²=4①
由于f（x）圖象的對稱軸為直線$x=-\frac{π}{6}$，
∴$f（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b$，
∴$|{-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$②，
由①②解得a=1，$b=\sqrt{3}$．∴$f（x）=2sin（{x-\frac{π}{3}}）$，
故A錯誤．
由正弦函數的圖象及性質可得：在區(qū)間$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$單調遞增，在區(qū)間$（{\frac{5}{6}π，π}]$上單調遞減，故B錯誤．
將對稱中心為$（{\frac{2}{3}π，0}）$，解析式不成立，故C錯誤．
當f（x₁）f（x₂）≤4取到等號時，f（x）能取到兩個最大值2，最小間隔為一個周期2π，故選D．
故選D

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數的性質求解出符合題意的解析式是解決本題的關鍵．屬于中檔題．