Question

當(dāng)x≥0，y≥0且x²+y²=1時(shí)，x+y-xy的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

(x+y)2-1

2

，可得x+y-xy=-

1

2

[(x+y)-1]2+1．利用x≥0，y≥0，x²+y²=1，可得

1

2

≤

x+y

2

≤

x2+y2 2

，即1≤x+y≤

2

．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

(x+y)2-1

2

，
∴x+y-xy=(x+y)-

(x+y)2-1

2

=-

1

2

[(x+y)-1]2+1．
∵x≥0，y≥0，x²+y²=1，
∴

1

2

≤

x+y

2

≤

x2+y2 2

，
∴1≤x+y≤

2

．
∴當(dāng)x+y=

2

時(shí)，x+y-xy的最小值是

2

-

1

2

．
故答案為：

2

-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．