解:(1)若a=1,因為a,b,c是互不相等的正數(shù),所以q>0且q≠1.
由已知,a,b,c是首項為1,公比為q的等比數(shù)列,則b=q,c=q
2,
當(dāng)插入的一個數(shù)位于b,c之間,設(shè)由4個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,則
,消去d得2q
2-3q+2=0,
因為q≠1,所以q=2.
(2)設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,由題意,d>0,共插入4個數(shù).
若在a,b之間插入1個數(shù),在b,c之間插入3個數(shù),則
,
于是
,2b-2a=c-b,q
2-3q+2=0,解得q=2.
若在a,b之間插入3個數(shù),在b,c之間插入1個數(shù),則
,
于是
,2c-2b=b-a,解得
(不合題意,舍去).
若a,b之間和b,c之間各插入2個數(shù),則
,b-a=c-b,解得q=1(不合題意,舍去),
綜上,a,b之間插入1個數(shù),在b,c之間插入3個數(shù).
(3)設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,
由題意可得,b=a+(s+1)d,
,又c=b+(t+1)d,
,
所以,
,即
,因為q≠1,所以
.
所以,當(dāng)q>1,即a<b<c時,s<t;當(dāng)0<q<1,即a>b>c時,s>t.
分析:(1)若a=1,設(shè)由4個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,則
,消去d,求得q的值.
(2)設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,由題意,d>0,共插入4個數(shù).若在a,b之間插入1個數(shù),在b,c之間插入3個數(shù),求得q的值;若在a,b之間插入3個數(shù),在b,c之間插入1個數(shù),求得q的值;若a,b之間和b,c之間各插入2個數(shù),求得q的值,綜合可得結(jié)論.
(3)設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,由題意可得
,因為q≠1,所以
,分q>1和 0<q<1兩種情況,分別得出結(jié)論.
點評:本題主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)以及通項公式,等比數(shù)列的定義、性質(zhì)以及通項公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.