Question

4．如圖，矩形ABCD中，BC=1，AB=$\sqrt{2}$，O是AB的中點，PD⊥平面ABCD，求證：PO⊥AC．

Answer 1

分析 連接OD，以D為原點，分別以$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：A，C，O，D坐標(biāo)，解得$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DO}$的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DO}$=0可證AC⊥DO，又PD⊥AC，DO∩PD=D，可證AC⊥平面PDO，從而可證PO⊥AC．

解答 證明：如圖，連接OD，以D為原點，分別以$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵矩形ABCD中，BC=1，AB=$\sqrt{2}$，O是AB的中點，PD⊥平面ABCD，
∴可得：A（-1，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），O（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（0，0，0），解得：$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DO}$=（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴解得：$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DO}$=-1+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+0=0，
∴AC⊥DO，
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，即PD⊥AC，DO∩PD=D，
∴AC⊥平面PDO，
∵PO?平面PDO，
∴PO⊥AC．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，空間向量及應(yīng)用，考查了推理論證能力，屬于中檔題．