如圖所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等邊三角形,ABCD是矩形,F(xiàn)是AB的中點,G是AD的中點,∠BCG=30°.
(1)求證:EG⊥平面ABCD
(2)若M,N分別是EB,CD的中點,求證MN∥平面EAD.
(3)若AD=
6
,求三棱錐F-EGC的體積.
分析:(1))△ADE是正三角形,G是AD的中點,可證EG⊥AD,平面ADE⊥平面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可得EG⊥平面ABCD;
(2)取AE中點H,連接DH,可證四邊形MHDN為平行四邊形,由線面平行的判定定理即可證得MN∥平面EAD;
(3)將求VF-EGC轉(zhuǎn)化為求VC-EGF即可.
解答:證明:(1)∵△ADE是正三角形,
∴EG⊥AD,又平面ADE⊥平面ABCD,且相交于AD,
∴EG⊥平面ABCD.   …(4分)
(2)取AE中點H,連接DH,
∵MH=
1
2
AB,MH∥AB,即MH∥DN,MH=DN,
∴四邊形MHDN為平行四邊形,
∴MN∥DH,又MN?平面EAD,DH?平面ADE,
∴MN∥平面EAD.…(8分)
(3)由(1)知EG⊥平面ABCD,即底面CGF的高為EG,且GE=
3
2
2
,
又在直角三角形EGC中,由GE=
3
2
2
,得CG=
3
6
2
,
∴DC=2
3

∴S△CGF=2
3
×
6
-
1
2
×
6
2
×2
3
-
1
2
×
6
×
3

=
9
2
4
,
∴VF-EGC=VC-EGF
=
1
3
×
9
2
4
×
3
2
2

=
9
4
 …(12分)
點評:本題考查直線與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定,考棱錐的體積,掌握線面平行與線面垂直的判定定理是解決問題的基礎(chǔ),熟練掌握體積輪換公式是求幾何體體積常用的方法,屬于中檔題.
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如圖所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等邊三角形,ABCD是矩形,F(xiàn)是AB的中點,G是AD的中點,EC與平面ABCD成30°角
(1)求證:EG⊥平面ABCD;
(2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度數(shù);
(3)當AD的長是多少時,D點到平面EFC的距離為2?并說明理由.

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