Question

如圖所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∠BCG=30°．
（1）求證：EG⊥平面ABCD
（2）若M，N分別是EB，CD的中點(diǎn)，求證MN∥平面EAD．
（3）若AD= ，求三棱錐F﹣EGC的體積．

Answer 1

證明：（1）∵△ADE是正三角形，
∴EG⊥AD，
又平面ADE⊥平面ABCD，
且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD． 
（2）取AE中點(diǎn)H，連接DH，
∵M(jìn)H= AB，MH∥AB，即MH∥DN，MH=DN，
∴四邊形MHDN為平行四邊形，
∴MN∥DH，
又MN平面EAD，DH平面ADE，
∴MN∥平面EAD．
（3）由（1）知EG⊥平面ABCD，
即底面CGF的高為EG，且GE= ，
又在直角三角形EGC中，
由GE= ，得CG= ，
∴DC=2 ．
∴S_△CGF=2 × ﹣ × ×2 ﹣ × ×  = ，
∴VF﹣EGC=VC﹣EGF = × ×  =