Question

關(guān)于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實(shí)根x=b．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若復(fù)數(shù)z₁=

2

1+i

，復(fù)數(shù)z滿足|z-a-bi|=|z₁|，求復(fù)數(shù)z的模|z|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)求模

專題：計(jì)算題,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）將x=b代入方程，得到（b²-6b+9）+（a-b）i=0，由復(fù)數(shù)相等可得方程組；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），由|z-a-bi|=|z₁|可知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（3，3）為圓心，

2

為半徑的圓上，|z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，從而可求；

解答： 解：（1）將x=b代入方程，得到（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴有

b2-6b+9=0 a-b=0

⇒

b=3 a=3

；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），|z1|=|

2

1+i

|=

2

，
則：|z-a-bi|=|z1|⇒

(x-3)2+(y-3)2

=

2

⇒(x-3)2+(y-3)2=2，
∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（3，3）為圓心，

2

為半徑的圓上，|z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
∴|z|min=3

2

-

2

=2

2

，
∴|z|的最小值為2

2

．

點(diǎn)評：該題考查復(fù)數(shù)相等的充要條件、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題．