Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，（x∈R）．
（1）求f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程；
（2）證明：曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x²+x+1有唯一公共點(diǎn)；
（3）設(shè)a＜b，比較f（

a+b

2

）與

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可得出f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程；
（2）令h（x）=f（x）-（

1

2

x²+x+1）=e^x-

1

2

x²-x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出．
（3）利用作差法，再構(gòu)造函數(shù)，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．

解答： （1）解：f′（x）=e^x，則f'（1）=e，f（x）點(diǎn)（1，e）處的切線方程為：y-e=e（x-1），y=ex；
（2）證明：令 h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1=ex-

1

2

x2-x-1，x∈R，則h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，h″（0）=0
因此，當(dāng)x＜0時(shí)，h″（x）＜0，y=h′（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞0時(shí)，h″（x）＞0，y=h′（x）單調(diào)遞增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，所以y=h（x）在R上單調(diào)遞增，又h（0）=0，即函數(shù)h（x）有唯一零點(diǎn)x=0，
所以曲線y=f（x）與曲線y=

1

2

x2+x+1有唯一公共點(diǎn)（0，1）；
（3）解：設(shè)a＜b，
f（

a+b

2

）-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-2+a)  +(b-2+a)eb-a•ea

2(b-a)

，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，g（x）＞0．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，∴

(b-2+a)  +(b-2+a)eb-a•ea

2(b-a)

＞0，
即f（

a+b

2

）＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個(gè)數(shù)、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識，考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．