（本小題滿分14分）20. （14分）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)；

（3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

 

【答案】

（1）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn);    

當(dāng)時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)。

（3）證明略

【解析】（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052303163906257477/SYS201205230318150625594945_DA.files/image002.png">，

      …… 1分

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．   …… 2分

（2）設(shè)，若函數(shù)的有極值點(diǎn)，則G(x)=0有解

 …………………3分

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解， 

時(shí)，，

,

此時(shí) ，隨在定義域上的變化情況如下表：

減

極小值

增

由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，

ii)   當(dāng)時(shí)，0<<1  此時(shí)，，隨的變化情況如下表：

增

極大值

減

極小值

增

有極大值和極小值點(diǎn)；

綜上所述：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn);    

當(dāng)時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

此時(shí)有惟一極小值點(diǎn)

               

 令函數(shù)                                              

 

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（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當(dāng)x∈[0，
π
2
]  時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．

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（本小題滿分14分）設(shè)橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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（本小題滿分14分）
已知=2，點(diǎn)（）在函數(shù)的圖像上，其中=.
(1)證明：數(shù)列}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（3）記，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷售價(jià)格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，第天()的銷售價(jià)格(單位：元)為，第天的銷售量為，已知該商品成本為每件25元.

（Ⅰ）寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該商品第7天的利潤(rùn)；

（Ⅲ）該商品第幾天的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

 

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（本小題滿分14分）已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

⑴ 求，滿足的關(guān)系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

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