Question

（2005•溫州一模）已知點A（5，0）和⊙B：（x+5）²+y²=36，P是⊙B上的動點，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q．
（1）證明點Q的軌跡是雙曲線，并求出軌跡方程．
（2）若(

BQ

+

BA

)•

QA

=0，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由點Q在線段AP的垂直平分線上，知|QP|=|QA|，所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．由此能求出點Q的軌跡方程．
（2）以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC，則

BQ

+

BA

=

BC

．由(

BQ

+

BA

)•

QA

=0，知

BC

•

QC

=0，所以平行四邊形ABQC是菱形，由此能求出點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點Q在線段AP的垂直平分線上，
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線．（4′）
其軌跡方程是

x2

9

-

y2

16

=1．（7′）
（2）以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC，
則

BQ

+

BA

=

BC

∵(

BQ

+

BA

)•

QA

=0，
∴

BC

•

QC

=0，
∴平行四邊形ABQC是菱形，
∴|

BA

|=|

BQ

|．（8′）
∴點Q在圓（x+5）²+y²=100上．
解方程組

(x+5)2+y2=100 x2 9 - y2 16 =1

．（10′）
得Q(-

39

5

，±

48

5

)或Q(

21

5

，±

8 6

5

)．（12′）

點評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．