已知矩陣A=
1-1
a1
，其中a∈R，若點(diǎn)P（1，1）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′（0，-3），
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求矩陣A的特征值及特征向量．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P在矩陣A的變化下得到的點(diǎn)P′（0，-3），寫出題目的關(guān)系式，列出關(guān)于a的等式，解方程即可．
（2）寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，令多項(xiàng)式等于0，得到矩陣的特征值，對(duì)于兩個(gè)特征值分別解二元一次方程，得到矩陣A的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量和矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量．
解答：解：（1）由
1-1
a1
 
1
1
=
0
-3
，
得a+1=-3
∴a=-4
（2）由（1）知A=
1-1
-41
，
則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(x)=
.
λ-11
4λ-1
.
=(λ-1)2-4=λ2-2λ-3
令f（λ）=0，得矩陣A的特征值為-1或3
當(dāng)λ=-1時(shí)二元一次方程
(λ-1)x+y=0
4x+(λ-1)y=0
?y=2x
∴矩陣A的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為
1
2

當(dāng)λ=3時(shí)，二元一次方程
(λ-1)x+y=0
4x+(λ-1)y=0
?2x+y=0
∴矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為
1
-2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二階矩陣，考查二階矩陣的特征值的求法，考查二階矩陣的特征向量的求法，因?yàn)槭歉叩葦?shù)學(xué)的內(nèi)容，考查的比較簡(jiǎn)單，是一個(gè)中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（1）求矩陣A；
（2）若向量β=
7
4
，計(jì)算A5β的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選擇題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，計(jì)算A2β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)，t∈R）．求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

（1）求A的逆矩陣A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

矩陣與變換．已知矩陣A=
1a
-1b
，A的一個(gè)特征值λ=2，屬于λ的特征向量是
α1
=
2
1
，求矩陣A與其逆矩陣．
坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在曲線C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))上求一點(diǎn)，使它到直線l的距離最小，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)和最小距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：矩陣與變換
已知矩陣A=
.
1a
-1b
.
，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1=
.
2
1
.
．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求直線y=2x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像的方程．

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