Question

（1）當(dāng)tanα=3，求cos²α-3sinαcosα的值．
（2）設(shè)f(θ)=

2cos3θ+sin2(2π-θ)+sin( π 2 +θ)-3

2+2cos2(π+θ)+cos(-θ)

，求f(

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）把cos²α-3sinαcosα的分母看作1，根據(jù)sin²α+cos²α=1化簡(jiǎn)，并在分子分母都除以cos²α得到關(guān)于tanα的式子，代入求值即可；
（2）利用和與差的正弦余弦函數(shù)化簡(jiǎn)得到f（θ）=cosθ-1，把

π

3

代入求值即可．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="c02a6ms" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">cos2α-3sinαcosα=

cos2α-3sinαcosα

sin2α+cos2α

=

1-3tanα

tan2α+1

，
且tanα=3，
所以，原式=

1-3×3

32+1

=-

4

5

．
（2）f(θ)=

2cos3θ+sin2(2π-θ)+sin( π 2 +θ)-3

2+2cos2(π+θ)+cos(-θ)

=

2cos3θ+sin2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2cos3θ-cos2θ+cosθ-2

2+2cos2θ+cosθ

=

2(cosθ-1)(cos2θ+cosθ+1)-cosθ(cosθ-1)

2+2cos2θ+cosθ

=

(cosθ-1)(2cos2θ+cosθ+2)

2cos2θ+cosθ+2

=cosθ-1，
∴f(

π

3

)=cos

π

3

-1=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系的能力，運(yùn)用和與差的正弦余弦函數(shù)公式的能力，以及三角函數(shù)恒等變換的能力．