7．已知函數(shù)f（x）=log2（1+x2），
求證：
（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合已知中函數(shù)的解析式，可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，結(jié)合二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可證得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log2（1+x2）的定義域R關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=log2[1+（-x）2]=log2（1+x2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞），t=1+x2為增函數(shù)，
又由y=log2t也為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．已知集合A={1，2，4}，B={3，4}，則A∪B={1，2，3，4}．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）．左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2．點M是橢圓C上一點，滿足∠F1MF2=60°，且${S_{△{F_1}M{F_2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
（Ⅰ）求橢圓的方程．
（Ⅱ）過點P（0，1）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點，設(shè)直線PA，PB的斜律分別為k1，k2，且k1+k2=2，求證：直線AB過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)y=f（x）=（$\frac{1}{3}$）|x+1|
（1）畫出函f（x）的圖象（簡圖）；
（2）由圖象指出函數(shù)（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b沒有公共點，求實數(shù)b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-x-6}$．
（1）若x∈[2，3]，求該函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．下列函數(shù)f（x）在x=0處是否連續(xù)？為什么？
（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}sin\frac{1}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤0}\\{\frac{sinx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$+（a-1）x（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），使得f（x）在x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處的切線l平行于AB，若存在，求出A，B點的坐標，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．設(shè)f（x），g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（x）≠0，g（x）有間斷點，下列函數(shù)中必有間斷點的為（　�。�
A．g[f（x）]B．[g（x）]2C．f[g（x）]D．$\frac{g（x）}{f（x）}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)f（x）有最小值，且最小值大于2-a時，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案