Question

1．已知函數(shù)f（x）=x|x-2a|（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）分類討論，即可求出在區(qū)間[0，1]上的最大值．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=-x|x|，則f（-x）=-x|x|=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)．
當a≠0時，f（1）=|1-2a|，f（-1）=-|1+2a|，
∵|1-2a|+|1+2a|≠0，
∴f（-1）≠f（1），
故f（x）不是偶函數(shù)；
又a≠0時，∵|1-2a|≠|1+2a|，
∴f（-1）≠-f（1），
故f（x）不是奇函數(shù)，
總之，當a≠0時，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．
綜上，當a=0時，f（x）為奇函數(shù)；當a≠0時，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）x∈[0，1]時，f（x）=x|x-2a|=|x²-2ax|=|（x-a）²-a²|．
記h（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²．
①當a≤0時，h（x）在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，且h（x）≥0．
因此a≤0時，g（a）=h（1）=1-2a，
②當a≥1時，h（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，且h（x）≤0．
因此a≥1時，g（a）=-h（1）=2a-1，
③當0＜a＜1時，h（x）在區(qū)間[0，a]上為減函數(shù)，在[a，1]上為增函數(shù)．
因為h（0）=0，h（a）=-a²，h（1）=1-2a，g（a）是|h（a）|=a²與|h（1）|=|1-2a|中較大者．
由（a²）²-（1-2a）²=（a²-2a+1）（a²+2a-1）=（a-1）²（a²+2a-1），
以及0＜a＜1知：
當$0＜a＜\sqrt{2}-1$時，（a²）²-（1-2a）²＜0，a²＜|1-2a|=1-2a；
當$\sqrt{2}-1≤a＜1$時，（a²）²-（1-2a）²≥0，a²＞|1-2a|．
所以，當$0＜a＜\sqrt{2}-1$時，g（a）=1-2a；當$\sqrt{2}-1≤a＜1$時，g（a）=a²．
綜合①②③得，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}1-2a{，^{\;}}a＜\sqrt{2}-1\\{a^2}，\sqrt{2}-1≤a＜1\\ 2a-1{，^{\;}}a≥1\end{array}\right.$

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及分段函數(shù)的最值的求法，考查學生的運算能力．