Question

10．已知點A，B在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，且線段AB經(jīng)過原點，點M為圓x²+（y-2）²=1上的動點，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值為（　�。�

• A． -15
• B． -9
• C． -7
• D． -6

Answer 1

分析 設(shè)A（x，y），B（-x，-y），M（a，b），則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x-a，y-b）•（-x-a，-y-b）=a²-x²+b²-y²，所以求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值，只要求出a²+b²的最大值，x²+y²的最小值．

解答 解：設(shè)A（x，y），B（-x，-y），M（a，b），則
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x-a，y-b）•（-x-a，-y-b）=a²-x²+b²-y²，
所以求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值，只要求出a²+b²的最大值，x²+y²的最小值，
因為點M為圓x²+（y-2）²=1上的動點，
所以a²+b²的最大值為（2+1）²=9，
因為點A，B在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，
所以x²+y²的最小值為16，
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最大值為9-16=-7，
故選：C．

點評 本題主要考查數(shù)量積的求解，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)利用向量數(shù)量積的公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和轉(zhuǎn)化能力．