Question

已知橢圓和雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，它們有相同的焦點(diǎn)F₁（-5，0）、F₂（5，0），且它們的離心率e都可以使方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的實(shí)根，求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

解：由題意可設(shè)橢圓的方程為
雙曲線的方程為
且c₁=c₂=5
設(shè)橢圓的離心率為 e₁，0＜e₁＜1，
雙曲線的離心率為e₂，e₂＞1
又e₁，e₂使得方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的實(shí)根，
所以△=（1-2e）²-4×（2e-1）=0
解得，或，
即，，
所以可得
所以所求橢圓方程為，
雙曲線的方程為
分析：設(shè)出橢圓方程及雙曲線的方程，利用二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，令其判別式為0，求出兩個(gè)根，據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出橢圓和雙曲線方程．
點(diǎn)評(píng)：解決橢圓與雙曲線問(wèn)題要注意橢圓的離心率的范圍為（0，1）；雙曲線離心率的范圍為（1，+∝）．