Question

已知定點A(a，O)( a >0)，B為x軸負半軸上的動點．以AB為邊作菱形ABCD，使其兩對角線的交點恰好落在y軸上．

(I)求動點D的軌跡E的方程；

(Ⅱ)過點A作直線l與軌跡E交于P、Q兩點，設點R (- a，0)，問當l繞點A轉動時，∠PRQ是否可以為鈍角?請給出結論，并加以證明．

Answer 1

詳見解析

解析:

解法一：(Ⅰ)設D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD為菱形

           且AC、BD的交點在y軸上，

    　　　∴B、C兩點坐標為(-x，0)、(-a，y)．

           由AC⊥BD得

·＝（2x，y）·(2a，-y)

＝4ax - y²=0，

即　y² = 4ax.

注意到ABCD為菱形，∴x≠0

故軌跡E的方程為y² = 4ax（x≠0）.

 (Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°．

 證明如下：

(1)當PQ⊥x軸時，P、Q點的坐標為(a，±2a)，又R(一a，0)，

            此時∠PRQ=90°，結論成立；

(2)當PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為y=k(x一a)，

  由得　k²x²  - (2ak²+4a)x + k²a² = 0

  　　　　　　記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂ ＝2a+，x₁ x₂=a².

　　　　　　　·＝（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂

                       =（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁- a）（x₂- a）

             =(1+k²) x₁ x₂+(a - ak²)( x₁+x₂)+a²+a²k²

             =(1+k²) a² +(a - ak²)( 2a+)+a²+a²k²=>0

                        

              即<,>為銳角，

              綜上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．

解法二：(Ⅰ)設D(x，y)，由ABCD為菱形且AC、BD的交點在y軸上，

            ∴C點坐標為(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得

            ，

  　　　　　化簡得y²=4ax．

  　　　　　注意到ABCD為菱形，∴x≠O，

  　　　　　故軌跡E的方程為y²=4ax(x≠O)．

(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°

    　　　　證明如下：

　　　　　　設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），同證法一易知，則x₁ x₂=a².又y₁²=4ax₁，y₂²=4ax₂，且｜PR｜²＝x₁+x₂+2a ，因為

　　　　　�。�PR｜²+｜QR｜²-｜PQ｜²＝（x₁+a）²+y₁²+（x₂+a）²+y₂²-( x₁+x₂+2a)²

             =2ax₁+2ax₂-4a²≥2 -4a²=4a-4a²=0

　　　　　　從而　cos∠PRQ=≥0，

即∠PRQ≤90°

解法三：(Ⅰ)因為ABCD為菱形，且AC與BD的交點在y軸上，

            所以點C的橫坐標為 -a，

            即點C在直線x = -a上，從而D到C的距離等于D到直線x = -a的距    離．又ABCD為菱形，所以點D到點A的距離與點D到直線x = -a的距離    相等，即軌跡E為拋物線，方程為y²=4ax．

            注意到ABCD為菱形，∴x≠O，

            故軌跡E的方程為y²=4ax(x≠O)．

(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°

    證明如下：

如圖，過P、Q向x軸及準線x = -a引垂線，記垂足為M、N、C、H，

            則|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，

            同理可證∠QRN≤45°，從而∠PRQ≤90°

    解法四：(Ⅰ)同解法一．

            (Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°

            證明如下：

設P（x₁，y₁），則y₁²=4ax₁，tan∠PRM=|k_PR|=||=，

∵x₁+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，

同理可證∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°