Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)λ取何值時(shí)，方程f（x）=λ在（-1，1）上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，得f（0）=0．再由最小正周期為2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通過在（-1，0）上取變量，轉(zhuǎn)化到（0，1）上，應(yīng)用其解析式求解．
（II）用定義，先任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號．
（III）根據(jù)題意，求得f（x）在（-1，1）上的值域即可．
解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．---------（1分）
設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
==-f（x）
∴---------（2分）
∴---------（3分）
（Ⅱ）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則，------（4分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴，，---------（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．---------（6分）
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即---------（7分）
同理，f（x）在（-1，0）上時(shí)，f（x）---------（8分）
又f（0）=0
當(dāng)或或λ=0時(shí)方程f（x）=λ在（-1，1）上有實(shí)數(shù)解．-----------------（10分）
點(diǎn)評：本題主要考查如何利用求對稱區(qū)間上的解析式，特別注意端點(diǎn)問題，還考查了用定義證明單調(diào)性求分段函數(shù)值域問題．