Question

已知拋物線y=x²+（2k+1）x-k²+k，
（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）設(shè)x₁、x₂是此拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足x₁²+x₂²=-2k²+2k+1．求拋物線的解析式．

Answer 1

（1）證明：△=（2k+1）²-4（-k²+k）=4k²+4k+1+4k²-4k=8k²+1．
∵8k²+1＞0，即△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）由題意得x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=-k²+k．
∵x₁²+x₂²=-2k²+2k+1，∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-2k²+2k+1，
即（2k+1）²-2（-k²+k）=-2k²+k+1，4k²+4k+1+2k²-2k=-2k²+2k+1．
∴8k²=0，∴k=0，
∴拋物線的解析式是y=x²+x．