Question

11．如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC在空間做符合以下條件的自由運(yùn)動(dòng)：①A∈l，②C∈α，則B，O兩點(diǎn)間的最大距離為（　�。�

• A． $1+\sqrt{2}$
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． $1+\sqrt{3}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問(wèn)題解決，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標(biāo)系，B、O兩點(diǎn)間的距離表示處理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可．

解答 解：將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問(wèn)題解決．
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OC為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖．
設(shè)∠ACO=θ，B（x，y），則有：
x=ACcosθ+BCcos（120°-θ）=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，
y=BCsin（120°-θ）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ．
∴x²+y²=4+2$\sqrt{3}$sin2θ，
∴當(dāng)sin2θ=1時(shí)，x²+y²最大，為4+2$\sqrt{3}$，
則B、O兩點(diǎn)間的最大距離為1+$\sqrt{3}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，解答關(guān)鍵是將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題解決，利用三角函數(shù)的知識(shí)求最大值．