Question

2．已知圓C經(jīng)過點A（0，2）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線m過點（1，4），且被圓C截得的弦長為6，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心的坐標，利用半徑相等求得t，進而利用兩點的距離公式求得半徑，則圓的方程可得．
（2）先看斜率不存在時是否符合．進而看斜率存在時設(shè)出直線m的方程，利用點到直線和距離和勾股定理建立等式求得k，則直線的方程可得．

解答 （1）解：設(shè)圓心的坐標為（t，t+1），
則有t²+（t-1）²=（t-2）²+（t+3）²，
整理求得t=-3，
故圓心為（-3，-2），r²=t²+（t-1）²=25，
則圓的方程為（x+3）²+（y+2）²=25．
（2）當直線m的斜率不存在時，方程為x=1，被圓截得的弦長2d=2×$\sqrt{25-16}$=6，符合，
當直線的斜率不存在時，設(shè)直線m的方程為y-4=k（x-1）整理得，kx-y+4-k=0，
圓心到直線的距離為$\frac{|-3k+2+4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{25-9}$=4，求得k=$\frac{5}{12}$．
則直線的方程為$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{43}{12}$=0，
綜合知直線m的方程為x=1或$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{43}{12}$=0．

點評 本題主要考查了直線的圓的問題的綜合運用．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的常用辦法．