Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+a

x

，x∈[1，+∞）且a＜1
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數(shù)g（x）=x•f（x）對任意x∈[2，5]時，g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（x）=

x2+ax+a

x

=x+2

a2 x

，能推導出f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由已知得

3m≥1 5-2m≥1 3m＞5-2m

，由此能求出1＜m≤2．
（3）設g（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0，得題目等價于a＞-（x+1）-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
證明如下：
∵f（x）=

x2+ax+a

x

=x+a+

a

x

=x+2

a2 x

，
x∈[1，+∞）且a＜1，
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
m滿足f（3m）＞f（5-2m），
∴

3m≥1 5-2m≥1 3m＞5-2m

，
解得1＜m≤2．
（3）設g（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0，
得：x2+a(x+1)+2x+

3

2

＞0，
即a（x+1）＞-（x+1）²-

1

2

，①
∵x∈[2，5]，∴x+1∈[3，6]，
∴①式可轉(zhuǎn)化為a＞-（x+1）-

1

2(x+1)

，
∴題目等價于a＞-（x+1）-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．
即a大于函數(shù)y=-（x+1）-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=（x+1）+

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最小值．
令t=x+1，t∈[3，6]，
則y=t+

1

2t

，由（1）得y=t+

1

2t

在t∈[3，6]上為增函數(shù)，
所以最小值為

19

6

．所以-

19

6

＜a＜1．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．