Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形．
（1）證明：AB⊥PC；
（2）若AB=2PC= ，求三棱錐P﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，CG．

∵△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，

∴PG⊥AB，CG⊥AB，

∵PG∩CG=G，且PG平面PCG，CG平面PCG，

∴AB⊥平面PCG，

又∵PC平面PCG，

∴AB⊥PC

（2）解：在等腰直角三角形PAB中，AB= ，G是斜邊AB的中點(diǎn)，

∴PG= AB= ，同理CG= ，

∵PC= ，∴△PCG是等邊三角形，

∴S△PCG= PCCGsin60°= = ，

∵AB⊥平面PCG，

∴VP﹣ABC= S△PCGAB= =

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥平面PCG，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明AB⊥PC．（2）根據(jù)三棱錐的體積公式先求出底面積和高，進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)才能正確解答此題．