【題目】給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

1)求橢圓的方程和其準(zhǔn)圓方程;

2)點(diǎn)是橢圓準(zhǔn)圓上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線準(zhǔn)圓于點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)準(zhǔn)圓軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程并證明

求證:線段的長(zhǎng)為定值.

【答案】(1,,2)(,()詳見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題目條件可求出的值,進(jìn)而可得出橢圓的方程和其準(zhǔn)圓方程;(2根據(jù)條件先求出點(diǎn)的坐標(biāo)并設(shè)出直線的方程,再聯(lián)立橢圓的方程,并結(jié)合,即可求得方程并進(jìn)而證明根據(jù)前面的結(jié)論,并注意對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論,證明線段總是準(zhǔn)圓的直徑,從而證得線段的長(zhǎng)為定值.

試題解析:(1,

橢圓方程為

準(zhǔn)圓方程為

2)()因?yàn)闇?zhǔn)圓軸正半軸的交點(diǎn)為,

設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線為

所以由.

因?yàn)橹本與橢圓相切,

所以,解得,

所以方程為

,

當(dāng)直線中有一條斜率不存在時(shí),不妨設(shè)直線斜率不存在,

當(dāng)時(shí),與準(zhǔn)圓交于點(diǎn),

此時(shí)(或),顯然直線垂直;

同理可證當(dāng)時(shí),直線垂直

當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)點(diǎn),其中.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓相切的直線為,

所以由

.

化簡(jiǎn)整理得,

因?yàn)?/span>,所以有.

設(shè)的斜率分別為,因?yàn)?/span>與橢圓相切,

所以滿足上述方程,

所以,即垂直.

綜合①②知:因?yàn)?/span>經(jīng)過點(diǎn),又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn),且垂直.

所以線段為準(zhǔn)圓的直徑,

所以線段的長(zhǎng)為定值.

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②當(dāng)時(shí),函數(shù)是單純函數(shù);

③若函數(shù)為其定義域內(nèi)的單純函數(shù), ,則

④若函數(shù)是單純函數(shù)且在其定義域內(nèi)可導(dǎo),則在其定義域內(nèi)一定存在使其導(dǎo)數(shù),其中正確的命題為__________.(填上所有正確的命題序號(hào))

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