【題目】已知橢圓經(jīng)過點,且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
()求橢圓的方程.
()過定點的動直線,交橢圓于、兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恒過點.若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) ;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:()由題可知,則,橢圓經(jīng)過點,帶入可得,由此可知所求橢圓方程為;(2)分別求出與軸平行時和與軸垂直時得圓得方程,聯(lián)立可求得兩圓得切點,進而推斷所求的點如果存在只能是,當直線與軸垂直時,以為直徑的圓過點,當直線不垂直于軸時設(shè)直線的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立求得,證明出,即以為直徑得圓恒過點.
試題解析:()∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
∴,
∴,
又∵橢圓經(jīng)過點,代入可得,
∴,故所求橢圓方程為.
()當與軸平行時,以為直徑的圓的方程: ,
當與軸垂直時,以為直徑的圓的方程: ,
由,
解得,
即兩圓公共點,因此,所求的點如果存在,只能是.
(i)當直線斜率不存在時,以為直徑的圓過點.
(ii)若直線斜率存在時,可設(shè)直線.
由,消去得: ,
記點、,
則,
∵, ,
∴,
.
∴,
綜合(i)(ii),以為直徑的圓恒過點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若存在實數(shù) ,使 成立,則稱為的不動點.
(1)當時,求的不動點;
(2)若對于任意的實數(shù) 函數(shù) 恒有兩個相異的不動點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若的圖象上 兩點的橫坐標是函數(shù) 的不動點,且直線 是線段的垂直平分線,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某人租用一塊土地種植一種瓜類作物,租期5年,根據(jù)以往的年產(chǎn)量數(shù)據(jù),得到年產(chǎn)量頻率分布直方圖如圖所示,以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量,得到平均年產(chǎn)量為455kg.當年產(chǎn)量低于450kg時,單位售價為12元/kg,當年產(chǎn)量不低于450kg時,單位售價為10元/kg.
(1)求圖中a的值;
(2)以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量,并以年產(chǎn)量落入該區(qū)間的頻率作為年產(chǎn)量取該區(qū)間中點值的概率,求年銷售額X(單位:元)的分布列;
(3)求在租期5年中,至少有2年的年銷售額不低于5000元的概率.
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【題目】已知函數(shù)且點(4,2)在函數(shù)f(x)的圖象上.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)求不等式f(x)<1的解集;
(3)若方程f(x)-2m=0有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,在銳角中,垂心關(guān)于邊、、的對稱點分別為、、,關(guān)于邊、、的中點、、的對稱點分別為、、.證明:
(1)、、、、、六點共圓;
(2);
(3).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)
(1)若f(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為4、最小值為1,求a,b的值;
(2)若a=1,b=1,關(guān)于x的方程f(|2x﹣1|)+k(4﹣3|2x﹣1|)=0,有3個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的值.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=x+1,那么不等式2f(x)﹣1<0的解集是_________
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【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )
A. 消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油
D. 某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
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