Question

已知向量

a

=(cos

3θ

2

，sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

，-sin

θ

2

)，θ∈[0，

π

3

]，
（1）求

a • b

| a + b |

的最大值和最小值；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|(k∈R)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運算，化簡

a • b

| a + b |

，再利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得

a • b

| a + b |

的最大值和最小值；
（2）先兩邊平方，求得向量的數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的范圍，建立不等式，解之即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(cos

3θ

2

，sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

，-sin

θ

2

)
∴

a

•

b

=cos

3

2

θcos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ，|

a

|=|

b

|=1
∴|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=2+2cos2θ=4cos2θ，

∴ | a + b |=2cosθ(θ∈[0， π 3 ]

），
∴

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

.，
設(shè)t=2cosθ，則

a • b

| a + b |

=

2t2-1

2t

=t-

1

2t

，t∈[

1

2

，1]，
令y=t-

1

2t

，則y′=1+

1

2t2

＞0
∴y=t-

1

2t

在[

1

2

，1]上遞增
∵t=

1

2

時，y=-

1

2

；t=1時，y=

1

2

∴

a • b

| a + b |

的最大值為

1

2

，最小值為-

1

2

；
（2）由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|有(k

a

+

b

)2⇒3(

a

-k

b

)2
即k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3（

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

）
∵|

a

|=|

b

|=1
∴k2 +1+2k

a

•

b

=3（1 +k2-2k

a

•

b

）
∴

a

•

b

=

1+k2

4k

∵

a

•

b

= (cos

3θ

2

，sin

3θ

2

)•(cos

θ

2

，-sin

θ

2

)=cos2θ，θ∈[0，

π

3

]
∴cos2θ∈[-

1

2

，1]
∴-

1

2

≤

1+k2

4k

≤1.
∴

1+k2+2k 4k ≥0 1+k2-4k 4k ≤0

∴2-

3

≤k≤2+

3

或k=-1．

點評：本題重點考查向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是正確運用向量的數(shù)量積公式化簡．