Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD與底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F
（Ⅰ）證明PA∥平面EBD．
（Ⅱ）證明PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）求二面角P-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以D為坐標原點，DA，DC，DP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，連接P與底面ABCD的中心G點，分別求出向量

PA

，

EG

的坐標，易判斷兩個向量平行，進而根據(jù)線面平行的判定定理得到PA∥平面EBD．
（Ⅱ）分別求出向量

PB

，

DE

的坐標，根據(jù)兩個向量數(shù)量積等0，可得PB⊥DE，結(jié)合已知中EF⊥PB及線面垂直的判定定理可得PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）分別求出平面PDE與平面DEF的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角P-DE-F的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）建立如圖所示的空間坐標系．
設(shè)底面正方形的邊長是a．
連接AC，BD相交于G連EG
…（2分）
依題意得：A（a，0，0），P（0，0，a），E(0，

a

2

，

a

2

)
由于底面ABCD是正方形，故G（

a

2

，

a

2

，0)
∴

PA

=(a，0，-a)，

EG

=(

a

2

，0，-

a

2

)

PA

=2

EG

，
即PA∥EG，EG?平面EDB，PA?平面EDB
故PA∥平面EBD．…（6分）
（Ⅱ）依題意得：B（a，a，0），

PB

=(a，a，-a)，

DE

=(0，

a

2

，

a

2

)

PB

•

DE

=(a，a，-a)•(0，

a

2

，

a

2

)=0?PB⊥DE，
由已知EF⊥PB
故，PB⊥平面EFD                         …（10分）
（Ⅲ）由題意知平面PDC的法向量

DA

=(a，0，0)
由（Ⅱ）知平面PDC的法向量 

PB

=(a，a，-a)∴cos?

DA

，

PB

＞=

DA • PB

| DA |•| PB |

=

1

3

=

3

3

∴二面角P-DE-F的余弦值是

3

3

．…（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，解答的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將線線平行，線線垂直及面面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量平行、垂直及夾角問題．