Question

已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x和g（x）=kx³-x-2
（1）若函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出g'（x）=3kx²-1，通過①當(dāng)k≤0時(shí)，②當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)有極值，即可求k的取值范圍；
（2）構(gòu)造h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2，轉(zhuǎn)化h（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通過h'（0）=0，對(duì)k≤

1

6

時(shí)，k＞

1

6

時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，是否滿足題意，求出k的最大值．

解答： 解：（1）g'（x）=3kx²-1…（1分）
①當(dāng)k≤0時(shí)，g'（x）=3kx²-1≤0，所以g（x）在（1，2）單調(diào)遞減，不滿足題意；…（2分）
②當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）在(0，

1 3k

)上單調(diào)遞減，在(

1 3k

，+∞)上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，所以1＜

1 3k

＜2，解得

1

12

＜k＜

1

3

…（4分）
綜上k的取值范圍是

1

12

＜k＜

1

3

．…（5分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2
依題可知h（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立     …（6分）
h'（x）=（x-1）e^x-3kx²+1，令φ（x）=h'（x）=（x-1）e^x-3kx²+1，
有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e^x-6k）…（7分）
①當(dāng)6k≤1，即k≤

1

6

時(shí)，
因?yàn)閤≥0，e^x≥1，所以φ'（x）=x（e^x-6k）≥0
所以函數(shù)φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又由φ（0）=h'（0）=0
故當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
又因?yàn)閔（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，滿足題意；…（10分）
②當(dāng)6k＞1，即k＞

1

6

時(shí)，
當(dāng)x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（e^x-6k）＜0，函數(shù)φ（x）即h'（x）單調(diào)遞減，
又由φ（0）=h'（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0
所以h（x）在（0，ln（6k））上單調(diào)遞減，又因?yàn)閔（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））時(shí)h（x）＜0，
這與題意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…（13分）
綜上k≤

1

6

，即k的最大值是

1

6

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論思想的應(yīng)用，難度比較大，考查分析問題解決問題的能力．