Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
（Ⅰ）證明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取PD中點M，連接EM，AM．由已知得四邊形ABEM為平行四邊形，由此能證明BE⊥CD．
（Ⅱ）連接BM，由已知條件推導(dǎo)出∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角，由此能求出直線BE與平面PBD所成的角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取PD中點M，連接EM，AM．
由于E，M分別為PC，PD的中點，故EM∥DC，
且EM=

1

2

DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，
故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE∥AM．
因為PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，
而CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD，
因為AM?平面PAD，于是CD⊥AM，
又BE∥AM，所以BE⊥CD．…（6分）
（Ⅱ）解：連接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，
而EM∥CD，故PD⊥EM．
又因為AD=AP，M為PD的中點，故PD⊥AM，
可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，
故平面BEM⊥平面PBD．
所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，
而BE⊥EM，可得∠EBM為銳角，
故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．…（9分）
依題意，有PD=2

2

，而M為PD中點，
可得AM=

2

，進而BE=

2

．
故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=

EM

BE

=

AB

BE

=

1

2

=

2

2

，
所以直線BE與平面PBD所成的角的正切值為

2

2

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．