Question

4．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥
面ABCD．
（1）求證：面PBC⊥面PAC；
（2）若M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，求三棱錐A-CMN的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，從而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可證得平面PAC⊥平面PBC；
（2）在三棱錐P-ABC中利用等積法求得C到平面PAB的距離，再求出三角形AMN的面積，進(jìn)一步由等積法求得三棱錐A-CMN的體積．

解答 （1）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=4，AD=CD=2，
∴AC=BC=$2\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面PAC，
∴平面PBC⊥平面PAC；
（2）解：由PC⊥CA，PC⊥CB，且PC=2，AC=BC=$2\sqrt{2}$，可得PA=PB=2$\sqrt{3}$，
又AB=4，∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}=4\sqrt{2}$．
設(shè)C到平面PAB的距離為h，由等積法可得：$\frac{1}{3}×4\sqrt{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$$2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×2$，得h=$\sqrt{2}$．
${S}_{△AMN}=\frac{1}{4}{S}_{△PAB}=\frac{1}{4}$×$4\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{A-CMN}={V}_{C-AMN}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，突出幾何體體積輪換公式的考查與應(yīng)用，屬于中檔題．