Question

15．已知圓O：x²+y²=r²，直線$x+2\sqrt{2}y+2=0$與圓O相切，且直線l：y=kx+m與橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$相交于P、Q兩點，O為原點．
（1）若直線l過橢圓C的左焦點，且與圓O交于A、B兩點，且∠AOB=60°，求直線l的方程；
（2）如圖，若△POQ的重心恰好在圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線與圓相切可求得圓的半徑，由∠AOB=60°可得圓心到直線的距離，由此可得直線斜率，即可求解直線方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由△＞0，得2k²+1＞m²…（※），
由△POQ重心（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$）恰好在圓${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$上，得${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=4$，
化簡得${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}$，代入（※）得k≠0，即${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{{4{k^4}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{4}{{\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}}}$
由k≠0，求出m的范圍

解答 解：（1）因為直線$x+2\sqrt{2}y+2=0$與圓O：x²+y²=r²相切
∴$r=\frac{|0+0+2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（2\sqrt{2}）}^2}}}}=\frac{2}{3}$∴${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$
因為左焦點坐標(biāo)為F（-1，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）
由∠AOB=60°得，圓心O到直線l的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$

又$d=\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，∴$\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，解得，$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴直線l的方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）$
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
由△＞0，得2k²+1＞m²…（※），
且${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$
由△POQ重心（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$）恰好在圓${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$上，得${（{x_1}+{x_2}）^2}+{（{y_1}+{y_2}）^2}=4$，
即${（{x_1}+{x_2}）^2}+{[k（{x_1}+{x_2}）+2m]^2}=4$，
即$（1+{k^2}）{（{x_1}+{x_2}）^2}+4km（{x_1}+{x_2}）+4{m^2}=4$．
∴$\frac{{16（1+{k^2}）{k^2}{m^2}}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}-\frac{{16{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+4{m^2}=4$，
化簡得${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}$，代入（※）得k≠0
又${m^2}=\frac{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{{4{k^4}}}{{4{k^2}+1}}=1+\frac{4}{{\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}}}$
由k≠0，得$\frac{1}{k^2}＞0$，∴$\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}＞0$，
∴m²＞1，得m的取值范圍為m＜-1或m＞1

點評 本題考查了橢圓 與直線的位置關(guān)系，方程思想、轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算能力，屬于中檔題．