Question

已知，向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

2

，-1）．
（1）

a

∥

b

且0≤θ≤π，求sin2θ的值；
（2）f（θ）=|

a

-

b

|²，若f（θ）≤m對(duì)θ∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)恒成立問題,向量的模,平行向量與共線向量

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，及同角的平方關(guān)系和二倍角的正弦公式，即可計(jì)算得到；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合兩角差的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，求得最大值，由條件可令m不小于最大值即可．

解答： 解：（1）向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

2

，-1），
由于

a

∥

b

且0≤θ≤π，
則

2

sinθ=-cosθ，由于sin²θ+cos²θ=1，
解得，sinθ=

3

3

，cosθ=-

6

3

，
則sin2θ=2sinθcosθ=2×

3

3

×(-

6

3

)=-2

2

；
（2）f（θ）=|

a

-

b

|²=

a

2+

b

2-2

a

•

b

=1+5-2（

2

cosθ-sinθ）
=6-2

3

（

6

3

cosθ-

3

3

sinθ）
=6-2

3

sin（θ-α）（α為輔助角），
由于θ∈R，則sin（θ-α）=-1時(shí)，f（θ）取得最大值，且為6+2

3

，
f（θ）≤m對(duì)θ∈R恒成立，即為m≥6+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．