Question

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x，從而可得f（x）+f（-x）=0，從而證明；
（Ⅱ）F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零點可化為asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解，即a=

-sinx-cos2x+3

sinx

=sinx+

2

sinx

-1；從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）證明：令x=y=0，則f（0）=2f（0），
則f（0）=0；
再令y=-x，則有
f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
且f（x）定義域為R，關(guān)于原點對稱．
∴f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）在（0，π）上有零點．
∴f（asinx）+f（sinx+cos²x-3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=-f（sinx+cos²x-3）=f（-sinx-cos²x+3）在（0，π）上有解；
又∵函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
∴asinx=-sinx-cos²x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a=

-sinx-cos2x+3

sinx

=sinx+

2

sinx

-1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
則a=t+

2

t

-1；
∵y=t+

2

t

在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴a≥2．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．