Question

如圖所示，有兩條道路OM與ON，∠MON=60°，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道OA，OB，AB（其中A，B分別在OM，ON上），若下水管道的總長(zhǎng)度為3km，設(shè)OA=a（km），OB=b（km）．
（1）求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并指出a的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)P到OM的距離PH為，到點(diǎn)O的距離PO為，問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P？若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把AB的長(zhǎng)度用含有a，b的代數(shù)式表示，在三角形AOB中利用余弦定理得到b和a的關(guān)系，即得到b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到a的取值范圍；
（2）利用解析法，以O(shè)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)AB過點(diǎn)P，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，寫出A，B所在直線方程，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程求出a的值，在定義域當(dāng)中，則假設(shè)成立，否則，不成立．
解答：解：（1）∵OA+OB+AB=3，∴AB=3-a-b．
∵∠MON=60°，由余弦定理，得AB²=a²+b²-2abcos60°．
∴（3-a-b）²=a²+b²+ab．
整理，得．
由a＞0，b＞0，3-a-b＞0，及
a+b＞3-a-b，a+3-a-b＞b，b+3-a-b＞a，得0＜a＜．
綜上，．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

∵，∴點(diǎn)P（）．
假設(shè)AB過點(diǎn)P．
∵A（a，0），，即B，
∴直線AP方程為，即．
將點(diǎn)B代入，得．
化簡(jiǎn)，得6a²-10a+3=0．
∴．
．
答：下水管道AB能經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P，（km）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意實(shí)際問題要有實(shí)際意義，是中檔題．