Question

設函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的在區(qū)間[-1，4]上的最小值與最大值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在切點處的導數(shù)值為切線斜率，切點在切線上，列方程解．
（2）導函數(shù)大于0對應區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導函數(shù)小于0對應區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3ax²+3bx，
∴f′（x）=3x²-6ax+3b，
∵f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），
∴f（1）=-11，f′（1）=-12，
∴1-3a+3b=-11，且3-6a+3b=-12，
解得：a=1，b=-3；
（2）∵a=1，b=-3，
∴f（x）=x³-3a²-9x，
∴f′（x）=3x²-6x+-9=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3，
∴f（x）在（-1，3）是減函數(shù)，在（3，4）上單調(diào)遞增，
∵f（-1）=5，f（3）=-27，f（4）=-20，
∴f（x）的最小值為-27，f（x）的最大值為5，
∴函數(shù)f（x）的在區(qū)間[-1，4]上的最小值為2，最大值為5．

點評：本題考查了考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的幾何意義即在某點處的導數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導函數(shù)對應方程的根，然后求出跟對應的函數(shù)值，區(qū)間端點的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．對于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導數(shù)的正負對應著函數(shù)的單調(diào)性．同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．