15．已知離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S${\;}_{△OM{F}_{2}}$=16，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)是（　�。�
A．32B．16C．8D．4

分析 求得雙曲線C一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理解方程可得a=8，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)F2（c，0），雙曲線C一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得|F2M|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由S${\;}_{△OM{F}_{2}}$=16，可得$\frac{1}{2}$ab=16，
即ab=32，又a2+b2=c2，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=8，b=4，c=4$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．若實(shí)數(shù)x，y，滿足2x-y-5=0，則$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$B．1C．$\sqrt{5}$D．5

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6．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在區(qū)間（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）內(nèi)是增函數(shù)，則（　�。�
A．f（$\frac{π}{4}$）=-1B．f（x）的周期為$\frac{π}{2}$C．ω的最大值為4D．f（$\frac{3π}{4}$）=0

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3．已知銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b=sin（A+C），cos（A-C）+cosB=$\sqrt{3}$c．
（1）求角A的大��；
（2）求b+c的取值范圍．

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10．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-cosωx（x∈R，ω為常數(shù)，且1＜ω＜2），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=1．f（$\frac{3}{5}$A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC面積的最大值．

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20．若函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）
A．（kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$），k∈ZB．（kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$），k∈Z
C．（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈ZD．（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z

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7．若實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{2x+y-6≤0}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$，且z=mx-y（m＜2）的最小值為-$\frac{5}{2}$，則m等于（　　）
A．$\frac{5}{4}$B．-$\frac{5}{6}$C．1D．$\frac{1}{3}$

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4．已知函數(shù)f（x）=2lnx-3x2-11x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a-3）x2+（2a-13）x-2恒成，求整數(shù)a的最小值；
（3）若正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f（x1）+f（x2）+4（x12+x22）+12（x1+x2）=4，證明：x1+x2≥2．

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11．已知tanα=$\sqrt{3}，π＜α＜\frac{3π}{2}$，則$cos2α-sin（{\frac{π}{2}+α}）$=（　�。�
A．0B．-1C．1D．$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

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