Question

10．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-cosωx（x∈R，ω為常數(shù)，且1＜ω＜2），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=1．f（$\frac{3}{5}$A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$），由關(guān)于直線x=π對稱，可得$ω=k+\frac{2}{3}（k∈Z）$，結(jié)合范圍ω∈（1，2），可求k，ω，利用周期公式即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可求$f（\frac{3}{5}A）=sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A，由余弦定理，基本不等式可求bc≤1，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）$f（x）=cos（ωx-\frac{π}{3}）-cosωx=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{1}{2}cosωx=sin（ωx-\frac{π}{6}）$，（3分）
由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對稱，可得：$ωπ-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
∴$ω=k+\frac{2}{3}（k∈Z）$，
∵ω∈（1，2），
∴$k=1，ω=\frac{5}{3}$，（5分）
∴$f（x）=sin（\frac{5}{3}x-\frac{π}{6}）$，則函數(shù)f（x）最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{5}{3}}}=\frac{6π}{5}$，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin（\frac{5}{3}x-\frac{π}{6}）$，
∴$f（\frac{3}{5}A）=sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，（7分）
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，$A=\frac{π}{3}$（9分）
由余弦定理及a=1，得：$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}≥2bc-bc=bc$，即bc≤1，（11分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．（12分）
方法不一樣，只要過程正確，答案準(zhǔn)確給滿分．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．