Question

12．在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，現(xiàn)把矩形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{21}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{70}}{10}$

Answer 1

分析 當平面ABC⊥平面ADC時，以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，由已知求出AC=4，∠BAC=30°，過D作DE⊥AC，交AC于E，連結(jié)BE，則DBE是直線BD和平面ABC所成的角，由此能求出直線BD和平面ABC所成的角的正弦值．

解答 解：∵在矩形ABCD中，現(xiàn)把矩形ABCD沿對角線AC折起，
∴當平面ABC⊥平面ADC時，以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∴AC=$\sqrt{12+4}$=4，∴∠BAC=30°，
過D作DE⊥AC，交AC于E，連結(jié)BE，
∵平面ABC⊥平面ADC，∴DE⊥平面ABC，
∴∠DBE是直線BD和平面ABC所成的角，
∵DE=$\frac{AD×DC}{AC}$=$\sqrt{3}$，∴$AE=\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
∴BE=$\sqrt{B{A}^{2}+A{E}^{2}-2×BA×AE×cos∠BAC}$=$\sqrt{12+1-2×2\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{7+3}$=$\sqrt{10}$，
∴sin∠DBE=$\frac{BE}{BD}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$．
故選：D．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．