Question

18．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²，開(kāi)方即可得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|；
（2）由（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1，代入夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos60°=1，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1+2+4=7，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-${\overrightarrow{a}}^{2}$=-1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0°≤＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞≤180°
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式，夾角與模長(zhǎng)計(jì)算，屬于中檔題．