已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線x2＝－4y的焦點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn)，又點(diǎn)A(1，)在該橢圓上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B、C，當(dāng)△ABC的面積最大時，求直線l的方程.

(1)由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0，－)，故設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>).

將點(diǎn)A(1，)代入方程得＋＝1，

整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)，

故所求橢圓方程為＋＝1.

(2)設(shè)直線BC的方程為y＝x＋m，

設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，

代入橢圓方程并化簡得4x2＋2mx＋m2－4＝0，

由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，

可得0≤m2<8.(*)

由x1＋x2＝－m，x1x2＝，

故|BC|＝|x1－x2|＝.

又點(diǎn)A到BC的距離為d＝，

故S△ABC＝|BC|·d＝

≤·＝，

當(dāng)且僅當(dāng)2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號(滿足(*)式)，此時直線l的方程為y＝x±2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三點(diǎn)
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2，過F1作直線L交橢圓于M、N兩點(diǎn)，使之構(gòu)成△MNF2證明：△MNF2的周長為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時．求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過M(2，1)，N(2
2
，0)兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點(diǎn)A、B，直線MA與MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在定直線上并求該直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點(diǎn)，P是E上的動點(diǎn)．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點(diǎn)A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ)．

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