已知橢圓E的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸，且拋物線x2＝－4y的焦點是它的一個焦點，又點A(1，)在該橢圓上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點B、C，當△ABC的面積最大時，求直線l的方程.

(1)由已知拋物線的焦點為(0，－)，故設橢圓方程為＋＝1(a>).

將點A(1，)代入方程得＋＝1，

整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)，

故所求橢圓方程為＋＝1.

(2)設直線BC的方程為y＝x＋m，

設B(x1，y1)，C(x2，y2)，

代入橢圓方程并化簡得4x2＋2mx＋m2－4＝0，

由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，

可得0≤m2<8.(*)

由x1＋x2＝－m，x1x2＝，

故|BC|＝|x1－x2|＝.

又點A到BC的距離為d＝，

故S△ABC＝|BC|·d＝

≤·＝，

當且僅當2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號(滿足(*)式)，此時直線l的方程為y＝x±2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三點
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點F1、F2，過F1作直線L交橢圓于M、N兩點，使之構成△MNF2證明：△MNF2的周長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時．求內切圓圓心的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)，N(2
2
，0)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，直線MA與MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

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