已知函數(shù)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m.
(Ⅰ)若方程f(x)=0在[-1,1]上有實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時,若對任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)(x∈[t,4])的值域為區(qū)間D,是否存在常數(shù)t,使區(qū)間D的長度為7-2t?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由(注:區(qū)間[p,q]的長度為q-p).
(1)[-8,0] ;(2);(3)t=-1或.
【解析】
試題分析:(1)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,則必有:;(2)確定值域關(guān)系即集合關(guān)系,若對任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,只需函數(shù)y=f(x)的值域為函數(shù)y=g(x)的值域的子集.(3)分類討論,確定二次函數(shù)的值域.
試題解析:(Ⅰ):因為函數(shù)=x2-4x+a+3的對稱軸是x=2,
所以在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù), 1分
因為函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,則必有:
即, 4分
解得,故所求實數(shù)a的取值范圍為[-8,0] . 5分
(Ⅱ)若對任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,只需函數(shù)y=f(x)的值域為函數(shù)y=g(x)的值域的子集.
=x2-4x+3,x∈[1,4]的值域為[-1,3], 7分
下求g(x)=mx+5-2m的值域.
①當(dāng)m=0時,g(x)=5-2m為常數(shù),不符合題意舍去;
②當(dāng)m>0時,g(x)的值域為[5-m,5+2m],要使[-1,3] [5-m,5+2m],
需,解得m≥6; 9分
③當(dāng)m<0時,g(x)的值域為[5+2m,5-m],要使[-1,3] [5+2m,5-m],
需,解得m≤-3;
綜上,m的取值范圍為. 10分
(Ⅲ)由題意知,可得.
①當(dāng)t≤0時,在區(qū)間[t,4]上,f(t)最大,f(2)最小,
所以f(t)-f(2)=7-2t即t2-2t-3=0,解得t=-1或t=3(舍去);
②當(dāng)0<t≤2時,在區(qū)間[t,4]上,f(4)最大,f(2)最小,
所以f(4)-f(2)=7-2 t即4=7-2t,解得t=; 12分
③當(dāng)2<t<時,在區(qū)間[t,4]上,f(4)最大,f(t)最小,
所以f(4)-f(t)=7-2t即t2-6t+7=0,解得t=(舍去),
綜上所述,存在常數(shù)t滿足題意,t=-1或. 14分
考點:1、二次函數(shù)零點;2、分類討論思想.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m.
(Ⅰ)若y=f(x)在[-1,1]上存在零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時,若對任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)(x∈[t,4])的值域為區(qū)間D,是否存在常數(shù)t,使區(qū)間D的長度為7-2t?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由(注:區(qū)間[p,q]的長度為q-p).查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z。
(1)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值為2,最小值為-4,試求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若對任意實數(shù)x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆度河南泌陽二高高三第一次月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(理科)已知函數(shù)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m.
(Ⅰ)若y=f(x)在[-1,1]上存在零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時,若對任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)(x∈[t,4])的值域為區(qū)間D,是否存在常數(shù)t,使區(qū)間D的長度為7-2t?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由(注:區(qū)間[p,q]的長度為q-p).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江蘇省陸慕高級中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期第一次測試 題型:解答題
已知函數(shù)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m.
(Ⅰ)若y=f(x)在[-1,1]上存在零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時,若對任意的x1∈[1,4],總存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)(x∈[t,4])的值域為區(qū)間D,是否存在常數(shù)t,使區(qū)間D的長度為7-2t?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由(注:區(qū)間[p,q]的長度為q-p).
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