（1）若a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，求證：（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc．
（2）已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2＞（a-b+c）2．
考點：不等式的證明,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：（1）（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（ a+c）（ a+b），利用基本不等式，可得結論；
（2）證明b2=ac，a+c＞b，左-右=2（ab+bc-ac），即可得出結論．
解答： 證明：（1）∵a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，
∴（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（ a+c）（ a+b）≥2
bc
•2
ac
•2
ab
=8abc．
（2）∵a，b，c成等比數(shù)列，b2=ac
又∵a，b，c都是正數(shù)，∴0＜b=
ac
≤
a+c
2
＜a+c，∴a+c＞b
∴左-右=2（ab+bc-ac）=2（ab+bc-b2）=2b（a+c-b）＞0
∴a2+b2+c2＞（a-b+c）2．
點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查作差法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈R，關于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有兩實數(shù)根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2．
（1）求a的取值范圍；
（2）比較a3與a2-a+1的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，?ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，
（1）當
a
、
b
滿足什么條件時，表示
a
+
b
與
a
-
b
的有向線段所在的直線互相垂直？
（2）當
a
、
b
滿足什么條件時，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
（3）
a
+
b
與
a
-
b
有可能為相等向量嗎？為什么？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式af(x)≥x-
1
2
x2在x∈（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）n∈N*，求證：
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
＞
n
n+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線C：y2=4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖
（1）證明：
OM
•
OP
為定值；
（2）若△POM的面積為
5
2
，求向量
OM
與
OP
的夾角；
（3）證明直線PQ恒過一個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，AA1=AB1，E為BB1延長線上的一點，D1E⊥面D1AC．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D1的大��；
（Ⅱ）在D1E上是否存在一點P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值，不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
6
)，
（Ⅰ）求f（x）的最大值及此時x的值；
（Ⅱ）求此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA=1，AB=2，PO=3，求⊙O的半徑r．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={3，4}，（∁UA）∩B=
 
．

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