Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(log

1

2

x)=x+

a

x

，a為常數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）如果f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（3）當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，若方程f（x）=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂；其中x₁＜0，0＜x₂＜1；求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法令t=log

1

2

x 則x=(

1

2

)t代入可求f（t），以“x“代換“x“可求．
（2）由f（x）為偶函數(shù)利用定義f（-x）=f（x）代入整理可求．
（3）由（2）可得f（x）為偶函數(shù)可得a=1，代入可得f（x）=2^x+2^-x，結(jié)合函數(shù)f（n）=n+

1

n

，n＞0的圖象，可得方程f（x）=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，其中x₁＜0，0＜x₂＜1?f（n）=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根n₁，n₂其中0＜n₁＜1，1＜n₂＜2，結(jié)合函數(shù)的圖象可得

解答：解：（1）∵f(log

1

2

x)=x+

a

x

，a為常數(shù)
令t=log

1

2

x 則x=(

1

2

)t
∴f（t）=(

1

2

)t+a•2t=2^-t+a•2^t
從而有f（x）=2^-x+a•2^x；

（2）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴2^x+a•2^-x=2^-x+a•2^x
整理可得，（a-1）•2^x=（a-1）•2^-x
∴a=1

（3）由（2）可得f（x）為偶函數(shù)，a=1，f（x）=2^x+2^-x
令n=2^x，n＞0，f（n）=n+

1

n

，n＞0的圖象如圖，
結(jié)合圖象可得方程f（x）=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
其中x₁＜0，0＜x₂＜1?f（n）=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根n₁，n₂其中0＜n₁＜1，1＜n₂＜2
而函數(shù)f（n）=n+

1

n

在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）單調(diào)遞增
結(jié)合圖象可得，2＜m＜

5

2

函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：（1）考查了換元法求函數(shù)的解析式，而利用換元法求解時(shí)要注意新元的范圍，即所求函數(shù)的定義域
（2）考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用
（3）考查了函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的思想，考查了函數(shù)y=x+

k

x

(k＞0)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．