Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（2）=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞

2

3

，則關(guān)于x的不等式f（x）＞

2x

3

-

1

3

的解集為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)（x）=f（x）-（

2x

3

-

1

3

），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（

2x

3

-

1

3

），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=f′（x）-

2

3

，
∵f′（x）＞

2

3

，∴g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）是增函數(shù)，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）-（

4

3

-

1

3

）=1-1=0，
即當(dāng)x＞2時，g（x）＞g（0）=0，
即不等式f（x）＞

2x

3

-

1

3

的解集為（2，+∞），
故答案為：（2，+∞）

點評：本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．