Question

在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x²，如圖所示，若使圖中的陰影部分的面積S₁與S₂之和最小，則此區(qū)間內的t=

 

．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：先利用定積分分別表示出陰影部分的面積S₁與S₂，然后求出S₁+S₂關于t的函數解析式和定義域，利用導數研究函數的單調性，從而求出函數的最小值．

解答： 解：由題意，S₁=t•t²-

∫

t 0

x²dx=t³-

1

3

t³=

2

3

t³，
S₂=

∫

1 t

x²dx-（1-t）•t²=

2

3

t³-t²+

1

3

，
S=S₁+S₂=

4

3

t³-t²+

1

3

（0≤t≤1），
S′（t）=4t²-2t=4t（t-

1

2

），
令S′（t）=0，得t=0，t=

1

2

．
∵函數在（0，

1

2

）上S′（t）＜0，在（

1

2

，1）上S′（t）＞0，
∴t=

1

2

是極小值點，
∴當t=

1

2

時，S最小，最小值面積為S（

1

2

）=

1

4

．

點評：本題主要考查了定積分在求面積中的應用，以及利用導數研究函數的單調性和求函數最值，屬于中檔題．