Question

直線3x-4y+4=0與拋物線x²=4y和圓x²+（y-1）²=1從左到右的交點(diǎn)依次為A，B，C，D，則

|AB|

|CD|

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：由題意可得直線3x-4y+4=0過(guò)拋物線的焦點(diǎn)（即圓的圓心）F（0，1）點(diǎn)，由

x2=4y 3x-4y+4=0

求得4y²-17y+4=0，可得y₁+y₂=

17

4

，y₁•y₂=1，求得y₁和y₂的值，再根據(jù)

|AB|

|CD|

=

|AF|-1

|DF|-1

=

( y1+1)-1

(y2+1)-1

=

y1

y2

計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：由已知圓的方程為x²+（y-1）²=1，拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為（0，1），
直線3x-4y+4=0過(guò)（0，1）點(diǎn)，則|AB|+|CD|=|AD|-2，
由

x2=4y 3x-4y+4=0

 求得4y²-17y+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=

17

4

，y₁•y₂=1．
∴y₁=

1

4

，y₂=4，∴

|AB|

|CD|

=

|AF|-1

|DF|-1

=

( y1+1)-1

(y2+1)-1

=

y1

y2

=

1

16

，
故答案為：

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線 的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．