Question

4．已知函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出f（2），再求出導(dǎo)數(shù)f′（x），從而求出f′（2）即為切線的斜率，再用點斜式方程寫出切線方程并化為一般式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=2x³-6x²+6x，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=6x²-12x+6，
所以f′（2）=6×2²-12×2+6=6，
又因為f（2）=2×2³-6×2²+6×2=4，
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-4=6（x-2），即6x-y-8=0；
（Ⅱ）f′（x）=6（x-1）（x-a），令f′（x）=0，解得：x=1或x=a，
①a=1時，f′（x）=6（x-1）²≥0，函數(shù)在R遞增，
②a＜1時，令f′（x）＞0，解得：x＜a或x＞1，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，a），（1，+∞）遞增，在（a，1）遞減；
③a＞1時，令f′（x）＞0，解得：x＜1或x＞a，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，1），（a，+∞）遞增，在（1，a）遞減．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．