Question

已知函數(shù)f（x）=4

3

sinxcosx-4cos²x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x₀）恒成立，求sin（2x₀-

π

3

）．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）原式可化簡(jiǎn)為f（x）=4sin（2x-

π

6

）-1，由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）f（x₀）是f（x）的最大值，先解得2x₀的值，從而可求sin（2x₀-

π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4

3

sinxcosx-4cos²x+1
=2

3

sin2x-2（1+cos2x）+1
=4sin（2x-

π

6

）-1
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴-3≤f（x）≤3，即函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的值域是[-3，3]．     
（Ⅱ）∵對(duì)于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x₀）恒成立，
∴f（x₀）是f（x）的最大值，∴由2x₀-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得2x₀=2kπ+

2π

3

，k∈Z
∴sin（2x₀-

π

3

）=sin（2kπ+

2π

3

-

π

3

）=sin

π

3

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．